Зачем повторять отношения сторон перед экзаменом
Каждый вариант базового ЕГЭ включает задачи на пропорции и подобие. Они проверяют умение видеть отношения сторон без сложной алгебры. Если тема отработана, можно быстро набрать два-три легких балла. Это особенно важно, когда время ограничено. Выпускники, уверенные в пропорциях, решают геометрию быстрее. Они меньше делают вычислительных ошибок. Поэтому системная тренировка окупается. Ниже разберём, как это сделать.
Что такое отношение и как его записать
Отношение сторон показывает, во сколько раз одна длина больше другой. Записывают через дробь или двоеточие. Например, AB : CD = 3 : 5. В ЕГЭ чаще встречается дробная запись AB / CD = 3/5. Если обе величины измерены в сантиметрах, единицы можно опустить. Главное, чтобы сравнивали однотипные величины.
Отношение не изменится, если обе стороны умножить на одно и то же число. Это удобно при переходе к целым числам. Например, 1,5 : 2,5 умножаем на 2 и получаем 3 : 5. Форма стала приятнее для устного счёта.
- Отношение безразмерно.
- Его удобно представлять в виде куска числа 1.
- Часто нужно восстановить «части» по общей длине.
Связь пропорций и отношений
Пропорция — это равенство двух отношений. Запись a/b = c/d означает, что a∙d = b∙c. Перекрёстное произведение помогает проверять равенство без деления. На экзамене это экономит время.
Чтобы составить пропорцию, достаточно двух фактов об одинаковых фигурах или параллельных прямых. Зная три величины, четвёртую быстро находим по правилу креста.
- Проверьте, что сравниваете соответствующие стороны.
- Никогда не ставьте ноль в знаменатель.
- Сокращайте дроби заранее, это уменьшит счёт.
Отношения сторон треугольника
В треугольниках отношения встречаются особенно часто. Простой пример: медиана делит сторону пополам, значит отношение отрезков 1 : 1. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, их отношение тоже 1 : 1.
Базовый экзамен любит задачу: «Стороны треугольника относятся как 3 : 4 : 5. Найдите периметр, если самая длинная сторона равна 15». Решение короткое. Доля самой длинной стороны — 5 частей. Одна часть равна 3. Значит периметр 3 + 4 + 5 частей, то есть 12 частей. Умножаем 3 на 12, получаем 36.
Стоит помнить специальные тройки. Самая известная — 3-4-5. Она часто скрыта. Увидели прямой угол и стороны, кратные тройке? Сразу проверяйте гипотенузу.
Как работают отношения при подобии
Подобные фигуры имеют равные углы и пропорциональные стороны. Коэффициент подобия k показывает, во сколько раз все длины увеличились. Если k = 2, площадь растёт в четыре раза, а периметр — ровно в два.
Типовая задача: «Прямоугольники подобны. Стороны первого 3 см и 7 см. Периметр второго 60 см. Найдите большую сторону второго». Сначала найдём периметр первого: 20 см. Коэффициент равен 60/20 = 3. Значит большая сторона будет 7∙3 = 21 см.
- Пишите одно отношение для длин, другое — для периметров.
- Для площадей используйте квадрат коэффициента.
- Углы при подобии не изменяются, их можно проверять транспортером.
Отношение сторон и масштаб на планах
Масштаб — частный случай отношения. Запись 1 : 100 означает, что один сантиметр плана равен метру в реальности. Чтобы не запутаться с единицами, переводите всё в сантиметры. Тогда отношение станет безразмерным.
Пример. Длина комнаты 5 м. Масштаб плана 1 : 50. Сначала переводим метры в сантиметры: 500 см. Делим на 50, получаем 10 см на чертеже. Периметр комнаты — 18 м, значит на плане это 36 см. Алгоритм одинаков для любой фигуры.
Иногда в условии уже есть отношение. «Длина участка к ширине равна 7 : 5». Если площадь 700 м², ищем длины. Пусть ширина 5x, длина 7x. Перемножаем: 35x² = 700. Значит x² = 20, x ≈ 4,47. Ширина около 22,4 м, длина 31,3 м.
Частые ошибки и быстрые проверки
- Путают порядок сторон. Всегда пишите подписи редкой ручкой.
- Забывают перевести сантиметры в метры. Держите таблицу единиц на черновике.
- Сравнивают катеты со стороной другого треугольника произвольно. Сначала отметьте соответствие углов.
- Не упрощают дроби. В результате длинные десятичные числа портят округление.
- Пропускают квадрат при переходе к площади. Дважды проверяйте степень коэффициента.
Сократить риск поможет правило трёх минут. После решения вернитесь к условию и перескажите его своими словами. Если пересказ не совпадает, скорее всего пропущена важная деталь.
Мини-тренажёр: проверьте себя
Ниже пять упражнений формата базового ЕГЭ. Решите их подряд, засеките 10 минут.
- Стороны прямоугольника относятся как 2 : 5. Периметр 56 см. Найдите стороны.
- Треугольники подобны с коэффициентом 1,6. Площадь меньшего 25 см². Найдите площадь большего.
- Отрезок AC разбит точкой B так, что AB : BC = 7 : 3, а AC = 40 см. Найдите AB.
- На плане в масштабе 1 : 200 длина дорожки 3,5 см. Какова реальная длина в метрах?
- Катеты прямоугольного треугольника относятся как 8 : 15. Периметр 74. Найдите гипотенузу.
Ответы спрячьте, чтобы не подсматривать:
- 14 см и 21 см
- 64 см²
- 28 см
- 7 м
- 25
Если допустили более двух ошибок, вернитесь к теории. Проработайте примеры с похожими числами.
Хотите больше практики? Наш онлайн курс подготовки к ЕГЭ содержит сотни интерактивных задач с мгновенной проверкой.
План повторения на последнюю неделю
За семь дней можно укрепить тему. Действуйте по схеме:
- День 1. Конспект формул и понятий, 20 минут.
- День 2. 15 задач на прямоугольники и периметры.
- День 3. Пять задач на треугольники с натуральными отношениями.
- День 4. Отработка масштаба. Десять чертежных примеров.
- День 5. Подобие произвольных треугольников. Контрольный мини-тест.
- День 6. Сборник ошибок. Исправление чужих решений.
- День 7. Полный вариант ЕГЭ. Разбор.
Держите таймер и записывайте время на каждую задачу. Так вы увидите рост скорости. Главное — регулярность. Отношения сторон легко забываются без практики. Потратьте по 30 минут в день, и к дате экзамена тема перестанет пугать.