Что скрывается за простым словом «среднее»
Среднее арифметическое знакомо с начальной школы. Берём сумму чисел, делим на их количество. Формула проста, зато стоит у истоков статистики и алгебры. Понимание идеи важно всем, кто готовится к базе ЕГЭ. На экзамене встречаются задания, где результат зависит от умения быстро найти среднее и сразу сделать вывод. Не стоит недооценивать тему: её применяют экономисты, социологи, инженеры.
Пример. Даны числа 4, 5, 6. Сумма равна 15. Делим на 3. Получаем 5. Никаких ловушек. Но экзаменаторы любят прятать подвохи в тексте. Разберёмся, как не попасться.
От простых чисел к формуле в общем виде
Пусть есть n чисел a₁, a₂, … aₙ. Тогда среднее арифметическое S равно (a₁ + a₂ + … + aₙ) / n. Формула укоренилась в учебниках более двух веков назад. Она помогает заменить группу значений одним представителем. В ЕГЭ чаще всего n не превышает 10, поэтому ручной счёт реален. Однако важно держать в голове свойства, позволяющие экономить время.
- Коммутативность суммы. Порядок складывания не важен.
- Если к каждому числу прибавить c, среднее вырастет на c.
- Если каждое число умножить на k, среднее также умножится на k.
Последние два пункта спасают, когда нужно увидеть скрытую симметрию или упростить громоздкие дроби.
Частые ошибки выпускников и способы их избежать
Главный промах — деление не на то количество элементов. Ученики иногда забывают ноль или повторяющуюся величину. Второе место держит невнимательное копирование чисел из условия. Совет прост: перечитайте задачу после выписки данных, а потом пересчитайте элементы. Третья ошибка — преждевременное округление. В базе допускается рациональный ответ, поэтому не режьте десятичные дроби раньше проверки.
Есть и ловушка с единицами измерения. Среднее температуры в градусах нельзя найти, смешав Цельсии и Кельвины без перевода. На экзамене встречаются килограммы и граммы, метры и сантиметры. Приводим к одной системе, потом считаем.
Как среднее прячется в текстовых задачах
Экзаменационные задачи редко называют среднее прямо. Встречаются формулировки:
- «Найдите показатель, равный отношению суммарного…»
- «Определите, сколько баллов в среднем…»
- «Сколько литров в среднем потребляет…»
Иногда вопрос звучит иначе: «Какое число нужно добавить, чтобы новое среднее стало таким-то?». В таком случае полезно использовать свойство суммы: новое среднее M связано с новой суммой Σ’ так, что Σ’ = M · (n + 1). Работает и обратный приём, когда из группы исключают элемент. Тренируйтесь выводить нужную формулу сразу, не выписывая длинных цепочек.
Почему статистика ЕГЭ тоже про среднее
После каждой сессии ФИПИ публикует отчёты. В них есть средний балл по региону, школе, даже классу. Понимание механизма расчёта помогает критически читать такие документы. Допустим, в классе 20 человек. Пятеро решили базу на 19 баллов, остальные на 6. Средний окажется 8,75. Кажется, что результаты близки к порогу, но реальная картина полярна. Среднее сглаживает острые углы, поэтому важно помнить: оно не расскажет о разбросе. Для этого нужны мода или дисперсия. Однако базовый уровень математики всё же требует только расчёт среднего, и это уже даёт первую оценку качества.
Кстати, наши преподаватели разбирают свежую статистику и превращают её в задания. Присоединяйтесь к онлайн курсу подготовки к ЕГЭ, чтобы получить актуальные примеры из реальных отчётов.
Секреты быстрого счёта без калькулятора
Калькулятор на базе запрещён, значит спасает тренировка. Вот несколько приёмов:
- Ищите пары, дающие круглую сумму. 17 + 13 = 30, процесс ускоряется.
- Используйте среднее двух чисел как опору. Для 18, 20 и 22 можно взять 20, добавить и вычесть отклонения.
- Запоминайте частные случаи: среднее первых k натуральных чисел равно (k + 1)/2.
- Сумма арифметической прогрессии легко находится по формуле, а потом делится на k.
- Если числа кратны десяти, отделите ноль, считайте упрощённые значения, верните ноль обратно.
Регулярные 10-минутные тренировки развивают скорость, а значит и уверенность на экзамене.
Три блока тренировочных заданий
Чтобы закрепить тему, выполните задачи трёх уровней.
Базовый.
- Найдите среднее 7, 9, 11, 13.
- Числа 4, 5, 6 имеют среднее 5. Какой должна быть сумма, чтобы среднее стало 6?
Средний.
- К пяти числам со средним 12 добавили число 27. Найдите новое среднее.
- Из шести измерений температуры среднее равно 18 °C. Если одно измерение ошибочное и должно быть 24 °C, вместо 14 °C, каков корректный результат?
Продвинутый.
- Средний расход топлива за четыре поездки составил 7,5 л/100 км. После пятой поездки общий средний расход вырос до 8 л/100 км. Сколько литров на 100 км показала пятая поездка?
- В классе 25 учеников. Средний балл по контрольной 3,8. После пересдачи четырёх человек их баллы стали 4, 4, 5, 5. Новый средний вырос до 4. Вычислите исходные оценки этих четырёх.
Пошаговый план повторения темы перед экзаменом
Шаг 1. Повторите определение и свойства, запишите формулы в тетрадь.
Шаг 2. Разберите все типы задач из банка ФИПИ за последние пять лет. Отметьте, сколько времени тратите.
Шаг 3. Составьте собственные варианты. Возьмите бытовые данные: цены, оценки, время тренировок. Считайте среднее, ищите отклонения.
Шаг 4. Проведите мини-тест. 10 задач, 15 минут. Цель — безошибочный результат.
Шаг 5. Если находите слабые места, возвращайтесь к теории и снова практикуйтесь. Фиксируйте прогресс в таблице.
Шаг 6. За день до экзамена не решайте новые сложные задания. Повторите ключевые приёмы быстрого счёта, выспитесь и приходите уверенными.
Следуя плану, вы без труда наберёте заветные 100 % по теме среднего арифметического, а вместе с ним укрепите фундамент всей базовой математики.