Зачем нужны проценты на экзамене
Проценты встречаются во всех вариантах базового ЕГЭ. Это неслучайно. Формат задач проверяет и арифметику, и логику. Без уверенного владения процентами нельзя надеяться на полный балл. В реальной жизни проценты тоже необходимы. Скидки, налоги, вклады — везде один и тот же инструмент. Поэтому освоение темы бьёт сразу по двум целям: экзамен и повседневность. К счастью, правила просты. Достаточно выучить несколько формул и научиться быстро переводить формы записи. Далее разберём каждую операцию пошагово.
Базовый словарь: процент, процентное отношение, процентное увеличение
Процент — это одна сотая часть целого. Запись 7 % значит 7/100. Аналогично 150 % означает 1,5 целых. Процентное отношение сравнивает две величины. Если в классе 10 мальчиков и 15 девочек, то доля мальчиков 40 %. Формула проста: (часть / целое) × 100 %. Процентное увеличение описывает рост относительно начального значения. Книга подорожала с 200 до 240 рублей. Разница 40. Делим её на 200 и получаем 20 %. Для уменьшения действует тот же приём. Запомните термин «базис». Он показывает, от какого числа ведём расчёт. Ошибка с базисом чаще всего ломает решение.
Перевод дробей, десятичных, процентов
Перевод форматов — основа быстроты. Работать нужно обеими дорогами.
- Дольная дробь → процент. 3/20 = (3 ÷ 20) × 100 % = 15 %.
- Десятичная → процент. 0,08 = 8 %.
- Процент → десятичная. 34 % = 0,34.
- Процент → обычная дробь. 12,5 % = 12,5/100 = 1/8.
Чтобы ускориться, держите в памяти популярные пары: 1/2 = 50 %, 1/3 ≈ 33,3 %, 1/5 = 20 %. При решении теста полезно округлять. Но всегда проверяйте, допустима ли погрешность в условии.
Находим процент от числа
Это самая частая операция. Правило: умножаем число на десятичную форму процента.
Пример. Найти 12 % от 250. Переводим: 12 % = 0,12. Затем 250 × 0,12 = 30. Ответ 30.
Для круглых чисел работает пропорция: 10 % — одно деление, 1 % — ещё одно. Если нужно 9 % от 600, берём 10 % = 60. Потом отнимаем 1 % = 6. Получаем 54. Такой подход экономит время без калькулятора.
Полезно помнить «правило двух нулей». Если процентным числом является кратное десяти, достаточно убрать нули. 20 % от 3500: зачёркиваем по одному нулю, остаётся 350 × 2 = 700.
Определяем число по его проценту
Обратная задача выглядит сложнее. Но помогает та же формула.
Если 45 — это 60 % величины, то неизвестное х находим так: 0,60 × х = 45. Делим 45 на 0,60. Получаем 75. Проверка: 60 % от 75 равны 45. Ошибки случаются, когда школьник делит на 60 вместо 0,60. Помните, что 60 % не равно 60.
Иногда данные дают через несколько уровней. Сказано: «15 % суммы составляют 900 рублей». Сразу выражаем: х = 900 / 0,15, получаем 6000. Важно писать шаги, чтобы не потерять знаки.
Сложные цепочки процентов: прирост и убывание
База ЕГЭ любит двухэтапные изменения. Главная мысль: проценты не складываются напрямую.
Пример. Цена выросла на 20 %, затем снизилась на 20 %. Была 100. После роста стала 120. Потом снижение: 120 × 0,8 = 96. Итог — 96, то есть минус 4 %, а не ноль. Чтобы ускориться, держите коэффициенты:
- +a % → коэффициент 1 + a/100
- −a % → коэффициент 1 − a/100
Умножаем их по очереди. В задачах о процентах роста населения, ставки НДС или инфляции схема аналогична.
Допустим, вклад растёт ежегодно на 7 %. За два года коэффициент: 1,07². На экзамене квадрат можно приблизить: 1,07² ≈ 1,1449 ≈ 1,145. Значит, общий рост 14,5 %.
Косвенные задачи: скидки, налоги, вклады
Косвенные условия проверяют понимание текста. Разберём три типовых блока.
- Скидка. Товар стоил 1500, скидка 30 %. Цена покупки: 1500 × 0,7 = 1050.
- НДС. Цена без налога 10 000, налог 20 %. С НДС: 10 000 × 1,2 = 12 000.
- Вклад. Капитал 40 000, ставка годовая 8 %. Через год: 40 000 × 1,08 = 43 200.
Учтите обратные задачи. «После скидки цена 840, скидка 30 %». Тогда базовая цена: 840 / 0,7 = 1200. Важно выбирать правильный коэффициент. Часто ученики делят на 0,3 и получают ошибку.
Чтобы закрепить, решайте устно цены из магазина или тарифы сотовой связи. Так развивается числовое чутьё.
Кстати, курсы подготовки к ЕГЭ помогают закрепить тему на тренажёрах с мгновенной проверкой.
Технологии запоминания и тренировки
Регулярность важнее разовой зубрёжки. Примените метод «пять задач в день». Решайте пять коротких примеров утром или вечером. Занимает меньше десяти минут, но поддерживает навык.
Карточки с процентами ускоряют перевод форматов. Запишите на одной стороне 0,125, на другой — 12,5 % и 1/8. Перебирайте карточки в транспорте. Через неделю пары всплывают автоматически.
Используйте таймер 40 секунд на простую операцию. Ограничение времени имитирует экзамен. Постепенно мозг оптимизирует шаги.
Наконец, объясняйте тему другу. Когда формулируешь правило словами, памяти строит крепкую сеть ассоциаций. В результате вы уверенно жонглируете процентами не только на тесте, но и в магазине.
Короткий чек-лист перед экзаменом
- Знаю перевод: дробь — десятичная — процент.
- Умею искать процент от числа и число по проценту.
- Помню, что проценты роста не складываются, а перемножаются.
- Могу быстро вычислить скидку, НДС и доход по вкладу.
- Тренируюсь ежедневно небольшими порциями.
Отработав эти пункты, вы превращаете тему из «страшной» в автоматическую. Тогда задача с процентами становится лёгким бонусом на пути к желанным 100 баллам.