Знакомство с десятичными дробями
Фраза «Школа ЕГЭ: математика база — десятичные дроби» звучит на каждом стартовом вебинаре курса. Термин кажется простым, но именно на нём абитуриенты часто теряют баллы. Десятичная дробь — это число, в котором целая часть отделена от дробной запятой. Такая запись естественно связана с денежными расчётами, длинами, массами, поэтому встречается повсюду. Ключевая цель раздела — показать, как грамотно читать и записывать данные числа, избегая распространённых ошибок. Умение делать это быстро экономит время на тесте и снижает стресс. Ниже мы разберём структуру, связь с обыкновенными дробями, основные операции и ловушки типового задания №2. Следуя последовательности разделов, выпускник получит компактную, но полную картину темы.
Строение и чтение записи
Любая десятичная дробь состоит из трёх блоков. Слева пишут целую часть, далее ставят запятую, затем идут цифры дробной части. Первая цифра после запятой показывает количество десятых, вторая — сотых, третья — тысячных. Пример: 3,742 значит три целых, семь десятых, четыре сотых, две тысячных. Если целая часть отсутствует, перед запятой ставят 0: 0,56. Такая форма не даёт учащемуся забыть о запятой в ответе. Вариант 5,0 равен целому числу 5, но подчёркивает точность измерения. Чтение вслух тренирует внимание, поэтому на уроках полезно диктовать друг другу произношение дробей. Зрительно слуховая связь закрепляет позиционную систему.
Перевод обыкновенных дробей в десятичные
Чтобы получить десятичную запись, нужно знаменатель привести к виду 2m·5n. Так 3/8 превращается в 0,375, потому что 8 = 23. Если знаменатель после упрощения содержит другие простые множители, дробь даст бесконечную десятичную форму. Пример: 1/6 = 0,1666… Перевод полезен, когда требуется вычислить процент или сравнить две величины. В обратную сторону действует правило: цифры дробной части становятся числителем, а знаменатель равен 1 с соответствующим числом нулей. Запись 0,47 равна 47/100. Этот приём встречается в задачах на стоимость, где цены подаются в рублях и копейках. Чем быстрее ученик узнает, какие дроби превращаются в конечные, тем увереннее он решает блок В.
Округление и сравнение чисел
В тесте часто просят округлить результат до десятых или сотых. Алгоритм прост: смотрим на цифру следующего разряда, отбрасываем хвост, при необходимости увеличиваем последнюю оставшуюся цифру. Главное — не перепутать правила до и после пяти. При числе 0,235 округление до сотых даёт 0,24, а до десятых — 0,2. Для сравнения дробей выравнивают длину частей добавлением нулей: 0,507 и 0,53 превращаются в 0,507 и 0,530; теперь видно, что второе больше. Графическое представление на числовой прямой помогает визуалам. Учителя советуют сначала отметить целые части, затем уточнять положение по долям, тогда ошибка практически исключается.
Сложение, вычитание, умножение, деление
При сложении или вычитании запятые ставят строго в столбик. На черновике лучше сразу подписывать нули, чтобы колонки совпали. Умножая, временно игнорируют запятую: считают «как целые», затем в ответе отделяют столько цифр, сколько их суммарно было после запятой в множителях. Деление выполняют через перенос запятой в делимом вправо, пока делитель не станет целым, либо применяют длинное деление. Важно тренироваться на примерах с разной длиной дробной части. Тогда рука запомнит механику, и вычисления на экзамене займут секунды. Ошибки чаще всего происходят из-за пропущенной запятой или лишнего нуля, поэтому проверка столбика обязательна.
Школа ЕГЭ: математика база — десятичные дроби в заданиях
Блок №2 демонстрирует, как тема реализуется в прототипах ФИПИ. Чаще всего предлагается найти значение выражения или сравнить две цены после скидки. Сложность в том, что данные поданы «быстро»: 12,4 км, 0,35 часа, 1,2 %. Рекомендуется сразу переписывать числа, группируя по единицам измерения. Метод спасает от путаницы в запятой. Для экономии времени полезно помнить три фиксированных перевода: 1/4 = 0,25; 1/3 ≈ 0,33; 2/3 ≈ 0,67. Часто встречается задача на округление полученной площади до десятых, где нужно аккуратно использовать формулу S = πr2 с π ≈ 3,14. Чем лучше школьник освоит приёмы, тем стабильнее его результат на базовом экзамене.
Типичные ошибки и способы профилактики
Статистика прошлых лет показывает повторяющиеся огрехи. Учащиеся:
- пропускают нули при записи числа вида 0,04;
- забывают переносить запятую при умножении на 10, 100;
- округляют раньше, чем завершили все операции;
- сравнивают дроби по длине записи, а не по значению.
Проблемы решает чек-лист. Сначала выписать данные, затем сделать вычисления без округления, только после этого оформлять ответ. Полезно вслух произносить результаты промежуточных действий: слух ловит пропущенные нули. При сравнении дробей удобно умножить обе на 10n, превращая их в целые числа; так риск спутать разряды падает.
Пошаговый план тренировки
Сначала прорешайте десять примеров на перевод обыкновенных дробей. Далее уделите день округлению, фиксируя правила в таблице. На третий день сделайте микс из сорока коротких вычислений в столбик. Затем переходите к сборным задачам формата ЕГЭ. Каждую неделю выделяйте час на быстрый тест: таймер — 15 минут, восемь заданий. Через месяц сравните скорость и число ошибок, рост будет очевиден. Завершите цикл мини-экзаменом на платформе ФИПИ, чтобы привычная обстановка не сыграла злую шутку на самом тесте. Регулярность плюс осознанная проверка — главный рецепт уверенных трёх баллов за второе задание.