Почему процентные задачи пугают
«Математика база — доля процента» звучит безобидно, однако многие выпускники именно на этих заданиях теряют баллы. Проценты встречаются в витринах, зарплатных квитках, кредитных договорах, но на листе ЕГЭ они вдруг кажутся загадкой. Причина проста: школьник редко делает вычисления вручную и забывает внутреннюю логику темы. Сложения дробей, круговые диаграммы, устный счёт — всё это тренируется отдельно и поэтому не складывается в цельную стратегию. Чтобы избавиться от страха, нужно понять, какие навыки на самом деле проверяет экзамен. Он не требует сложного анализа, зато требует быстроты, аккуратности, умения читать слова между строк. Стоит освоить пару алгоритмов — и паника исчезнет.
Здесь мы разберём именно те алгоритмы, которые в последние годы стабильно попадают в контрольно-измерительные материалы. Будем опираться на демонстрационные варианты ФИПИ, поэтому ни один пример не будет надуманным. Начнём с минимальной теории, затем перейдём к типичным ловушкам, практическим приёмам и, наконец, к плану подготовки на финишной прямой.
Формула доли и процента: математика база — доля процента
Процентом называют сотую долю числа. Долю обозначают дробью, процент — знаком «%». При решении задач фактически всё сводится к трём коротким формулам: P = a/b, где P — доля; a — часть; b — целое. Затем a = P·b и b = a/P. Процент попадает в работу через умножение на 0,01. Казалось бы, проще не бывает, однако школьник нередко путается, какую именно величину считать «целым». Именно здесь случаются обидные ошибки.
Например, если товар подорожал на 20 %, целым считаем старую цену, а не новую. При понижении на 20 % целым тоже остаётся исходная стоимость. Когда же цена сначала выросла, а потом упала, целых уже два: одно в первом действии, другое во втором. Правильно выбрать целое — главный маркер понимания темы.
Чтобы убедиться, достаточно запомнить проверочную фразу: «От чего идёт процент?». Задайте её себе перед вычислением, и шанс промаха резко упадёт. Метод лёгкий, но эффективный.
Перевод условий в четыре шага
Большинство заданий можно разложить на фиксированную цепочку действий. Шаг первый: выделяем объект, к которому относится процент. Шаг второй: строим таблицу «было — стало», подставляя известные числа. Шаг третий: решаем пропорцию. Шаг четвёртый: возвращаемся к вопросу, чтобы сверить, то ли спрашивали. Последний шаг критически важен: авторы любят заманивать учеников промежуточными результатами. Выполнив четыре пункта, вы гарантированно держите нить рассуждений.
Рассмотрим типовой пример. «Содержание сахара в варенье повысили на 15 %. Сколько граммов сахара на 100 г продукта стало?» Было — 100 г, часть сахара — х. Стало — 115 г, сахар уже х + 0,15х. Записываем пропорцию 115 : 100 = (1,15х) : х. Отсюда выводим х = ? Упираемся в очевидную истину: относительные приросты не изменяют долю, если одновременно растут и часть, и целое. Подобные упражнения тренируют чувство числа.
Типовые ловушки на ЕГЭ
Самая частая ловушка — двойное изменение. Цена сначала падает, потом поднимается. Итоговый процент строго меньше суммы отдельных процентов. Вторая ловушка — перепутанные единицы измерения. Формулировка даёт массу раствора в килограммах, а долю соли в граммах. Конвертацию игнорировать нельзя. Третья — округления. Если в условии указано «ответ округлите до целых», округляем итог, а не промежуточные вычисления. Четвёртая — условие «минимальное значение». Тут нельзя останавливаться на первом решении; проверяем соседние целые проценты.
Пятая ловушка реже встречается, но сбивает даже сильных учеников. Вопрос звучит так: «Какой процент массы составляет железо?» При этом железо распределено в нескольких соединениях. Нужно сложить именно массы железа, а не суммарную массу соединений. Решает проблему предварительная выписка данных отдельными строками.
Стратегия решения без калькулятора
ЕГЭ базового уровня разрешает использовать только линейку. Следовательно, вычисления придётся делать руками. Сперва округляйте числа до удобных, чтобы проверить прикидкой диапазон ответа. Затем выполняйте точные действия столбиком. Деление на 25 и 125 сокращайте через дроби 1/4 и 1/8. Проценты 5 %, 10 %, 20 % легче получать устно: 10 % — сдвиг запятой, 5 % — половина от 10 %, 20 % — удвоенный результат.
Если число заканчивается на два нуля, сразу переписывайте его в десятках. Пример: 3 500 р. составляет 7 % от суммы вклада. Делим 3 500 на 7, получаем 500; добавляем два нуля, видим вклад 50 000 р. Способ экономит время и уменьшает риск ошибок. Чем меньше действий, тем спокойнее рука.
Тренировка на бытовых примерах
Школьник быстрее схватывает тему, когда переносит её в повседневность. Зайдите в магазин, сфотографируйте ценник со скидкой и попробуйте восстановить исходную цену. Сложите кэшбэк карты банка и налоги на зарплату, чтобы понять реальную покупательную способность. Приготовьте лимонад: 30 г сахара на 270 г воды — сколько процентов сахара в напитке? Подобные задачи развивают интуицию, а интуиция ускоряет экзаменационные расчёты.
Важно не ограничивать себя лёгкими случаями. Смело берите дробные проценты, например 7,5 %. Разбейте их на 5 % и 2,5 %, посчитайте по отдельности, сложите. Отдельно потренируйте обратную операцию: как узнать исходную сумму после уменьшения на 12 %? Делите итог на 0,88. Деление на десятичную дробь пугает, но после десятка попыток страх пропадает.
Проверка ответа и самоконтроль
Быстро проверить процентную задачу можно двумя приёмами. Первый — здравый смысл. Если в задаче про скидку итоговое число оказалось выше исходного, сразу понятно: ошибка. Второй — обратное действие. Увеличили на 15 %? Уменьшите результат на 15 % и убедитесь, что получили начальное значение. При двойных изменениях проделайте оба шага в обратном порядке. Метод занимает минуту, но спасает балл.
Самоконтроль требует статистики. Ведите таблицу: дата, номер задания, ошибка, причина. Через неделю проанализируйте повторяющиеся причины. Возможно, руки дрожат при делении столбиком; возможно, путаете понятия «часть» и «целое». Осознав слабое место, выделите ему отдельный блок тренировки. Такой подход даёт рост быстрее, чем бездумное штудирование вариантов.
План подготовки на последние две недели
Две недели — достаточный срок, чтобы довести навык до автоматизма. День первый: решите десять свежих задач из открытого банка ФИПИ, замерьте время и качество. День второй: разберите ошибки, посвятите час теории. День третий: выполните блок из двадцати задач на скорость. Четвёртый день отведите бытовым примерам; меняйте единицы измерения, играйтесь с округлениями.
На пятом и шестом днях моделируйте экзамен: 20 задач за 30 минут. Седьмой день отдыхайте, но мысленно комментируйте все увиденные проценты вокруг. Вторая неделя повторяет первую, только увеличьте количество заданий и сократите время проверки. Последние два дня решайте минимальный объём, чтобы сохранить свежую голову. Накануне экзамена вспомните формулы и таблицу «было — стало», закройте тетрадь и позвольте мозгу отдохнуть. Равномерная нагрузка, чёткий график и ежедневный микротест — лучшая гарантия спокойствия на реальном ЕГЭ.