Что такое вектор и зачем он нужен
Подготовка к экзамену «ЕГЭ математика база» почти всегда начинается с повторения величин, которые имеют направление. Этот объект — вектор. Он отвечает сразу за две характеристики: длину и курс. Если длина показывает «сколько», то направление уточняет «куда». Благодаря такой паре геометрические задачи превращаются из словесных описаний в аккуратные схемы со стрелками. Ученику становится проще видеть связи между точками и отрезками, а значит — быстрее решать тестовую часть.
Запись и обозначения в школьных задачах
В тетрадях школьники чаще всего изображают вектор стрелкой AB, где A — начало, B — конец. Альтернативой служит жирная буква a или маленькая буква с черточкой сверху. На координатной плоскости принято заключать вектор в круглые скобки: (x; y). Не путайте координаты конца отрезка и координаты самого вектора. Если точка B имеет координаты (3; 5), а точка A лежит в начале системы, то вектор AB тоже равен (3; 5). Однако при другом старте картинка изменится. Эта ясность в обозначениях спасает от типичных ошибок, особенно в спешке на экзамене.
Равенство и противоположность векторов
Два вектора равны, когда их длины совпадают и направления параллельны и одинаково ориентированы. Местоположение начала не важно. Поэтому вектор (2; −1) будет равен любому такому же сдвигу, где бы он ни лежал. Противоположный вектор имеет ту же длину, но направление строго обратное. Записывается он через знак минус: −a. В координатах просто меняем знаки: (2; −1) превращается в (−2; 1). Эти понятия часто встречаются в первых заданиях, где надо выбрать верные высказывания о геометрических фигурах.
Операции: сложение и вычитание
Сложение двух векторов выполняется так же, как складываются шаги путника. Поставьте хвост второго к голове первого — получите диагональ параллелограмма. Координатный способ ещё проще: суммируйте соответствующие компоненты. Например, (1; 4)+(−2; 3) даёт (−1; 7). Вычитание заменяем добавлением противоположного: a−b=a+ (−b). В графике это значит развернуть b и снова применить правило «хвост к голове». Навык складывать векторы экономит секунды на тестах про перемещения точек или сил.
Умножение вектора на число
Когда ученик умножает вектор на число k, он растягивает или сжимает стрелку вдоль прежнего направления. Если k > 1, длина растёт во столько же раз. При 0 < k < 1 вектор укорачивается. Отрицательное k не только меняет масштаб, но и переворачивает направление. Координатная формула примитивна: k·(x; y)=(k·x; k·y). Упражнения из базы нередко требуют найти координаты конца вектора, полученного умножением, и вычислить новую длину. Помните, сама длина равна корню из суммы квадратов координат, поэтому после умножения её легко пересчитать, умножив исходное значение на |k|.
Координаты в прямоугольной системе
С переходом к координатам любые слова про «влево» и «вверх» заменяются точными числами. Чтобы построить вектор, откладываем по оси X первое число, по оси Y — второе. Начало удобно ставить в начале системы, но не обязательно. Плюс координатного подхода в том, что сразу виден направляющий угол: arctg(y/x), если x ≠ 0. В базовой части ЕГЭ редко вычисляют сам угол, однако понимание пригодится при проверке параллельности. Два вектора параллельны, когда их координаты пропорциональны: x1/x2 = y1/y2. Это правило часто решает целое задание без длинных построений.
Типовые задания «ЕГЭ математика база»
Разработчики экзамена не скрывают, какие форматы будут встречаться. Чаще всего нужно:
- проверить равенство или противоположность двух векторов по координатам;
- найти неизвестный множитель k, если даны пропорциональные координаты;
- вычислить длину стрелки и сравнить её с указанным числом;
- определить, параллельны ли стороны многоугольника, используя их координаты;
- построить конечную точку после сложения нескольких перемещений.
Каждое такое задание решается в два-три счёта, если формулы уже «сидят в пальцах». Школьнику остаётся лишь аккуратно подставить цифры и сверить знак.
Тактика тренировки и полезные ресурсы
Эффективная подготовка держится на регулярности. Практикуйтесь ежедневно по 15 минут: складывайте пары векторов, ищите длины, проверяйте параллельность. Раз в неделю решайте пробный вариант целиком, чтобы почувствовать тайминг. Если нужна система и обратная связь, присмотритесь к курсам онлайн школы EL-ED, где уроки чередуются с тренажёрами и моментальной проверкой. Тем, кто занимается без педагога, советую заводить отдельный сборник ошибок и раз в две недели пересчитывать их заново. Такой дневник быстро показывает, где именно проседает теория, и позволяет точечно повторить забытые операции.