Почему проценты пугают выпускников
Процентные расчёты встречаются почти в каждой второй задаче базового ЕГЭ, однако именно эта тема обычно вызывает нервный вздох у школьников. Причина проста: знак «%» воспринимается мистическим символом, прикрывающим длинные формулы из финансовой математики. На деле достаточно трёх правил. Во-первых, один процент — это одна сотая любой величины. Во-вторых, число процентов легко превращается в десятичную дробь: нужно лишь передвинуть запятую на два знака влево. В-третьих, важно различать простое и сложное начисление. Если эти шаги заучены, страх исчезает. Дальше мы разложим тему на удобные блоки и покажем, как проценты связаны с курсами валют, наценками и даже задачами на движение.
Процентные расчёты: формула простых процентов
Базовый экзамен любит прямолинейные задачи. Формула P = A·p/100 подходит почти всегда, где A — исходная сумма, p — ставка в процентах, P — приращение. Допустим, товар стоит 2400 рублей, а магазин объявил скидку 15 %. Перемножаем: 2400·15/100 = 360 рублей. Осталось вычесть скидку из цены и получить 2040 рублей. Чтобы сэкономить время, тренируйте устное сокращение: 15 % — это 0,15; значит, 2400·0,15 решается без калькулятора дроблением числа на удобные части. Фокус: если проценты уменьшают величину, умножаем на (1 – p/100); если увеличивают — на (1 + p/100). Такое чтение формул экономит драгоценные секунды, когда до звонка остаётся две минуты.
Сложные проценты и банковские вклады
Сложный процент — любимый гость в финальных заданиях повышенного уровня. Суть проста: каждый новый расчёт берёт основу не изначальную, а уже увеличенную сумму. Универсальная формула выглядит так: S = A·(1 + r/100)n, где r — ставка, n — число периодов. Например, вклад 30 000 рублей под 6 % годовых на три года превращается в 30 000·1,06³ ≈ 35 837 рублей. Запоминать степень необязательно, достаточно таблицы степеней 1,06 до пятой. Экзаменаторы редко уходят дальше. Главное — не забывать: если начисление поквартальное, то n умножается на четыре, а r делится на тот же коэффициент. Ошибка пропорции здесь встречается чаще всего.
Как быстро переводить проценты в дроби и обратно
Устный счёт спасает, когда калькулятор запрещён. Запомните «золотые» пары: 10 % = 0,1; 12,5 % = 1/8; 20 % = 1/5; 25 % = 1/4; 50 % = 0,5. Освоив их, легко комбинировать. К примеру, 30 % — это 3·10 %, а 37,5 % — сумма 25 % и 12,5 %. Для обратного перевода придерживаемся обратной операции: умножаем десятичную дробь на 100. Точка скольжения запятой — основная ловушка: 0,075 и 7,5 % путают даже сильных учеников после восьмого часа подготовки. Сделайте карточки, тренируйтесь две минуты в день, и ошибка исчезнет за неделю.
Классические ловушки: скидка и наценка
ЕГЭ обожает двойное изменение цены. Сначала товар уценяют, затем повышают цену или наоборот. Ученик автоматически складывает проценты, забывая, что база изменилась. Простой пример: товар стоил 500 рублей, затем его уценили на 20 %, после чего повысили цену на 20 %. Итог — не 500 рублей, а 480: сначала 500·0,8 = 400, затем 400·1,2 = 480. Суммарное изменение эквивалентно умножению на 0,96, то есть минус 4 %. Запомните правило: проценты не складываются, они перемножаются. Проверка через обратное действие спасёт от досадного минуса в бланке.
Другие частые темы: пропорции, среднее, скорость
Базовый экзамен не ограничивается финансами. На соседних позициях стоят задачи на пропорциональность, среднее арифметическое и движение. Их связывает одинаковый подход: выберите главную единицу и установите пропорцию. Например, если поезд прошёл 60 км за 48 минут, скорость равна 60 ÷ 0,8 = 75 км/ч. Среднее арифметическое пяти оценок ищется суммированием и делением, но проценты помогают проверить результат: оценка «четыре» — это 80 % от максимума. Чтобы систематизировать тему, сделайте таблицу:
- Простые проценты — одна формула, одна операция
- Сложные проценты — степень и периодичность
- Пропорции — крест-накрест
- Среднее — сумма делённая на количество
- Скорость — путь, время, обратное действие
Быстрая перекличка понятий уменьшает время чтения условия почти вдвое.
План тренировки и типовые ошибки
Составьте недельный цикл: в понедельник и четверг решайте только проценты, во вторник — пропорции, в среду — смешанные задачи, пятница оставьте для пробника. Субботу посвятите разбору ошибок, воскресенье — отдыху. Типовые промахи можно записать в отдельный блокнот. Чаще всего ученики: забывают переводить минуты в часы, теряют ноль при делении, путают порядок действий со скобками. Каждая ошибка должна пройти через «повтор через день», тогда мозг закрепит правильный шаблон. Для поддержки дисциплины отлично подходит курс подготовки к ЕГЭ в онлайн-школе el-ed.ru: там система сама планирует повторение и напоминает о пробниках.
Финальные советы и ресурсы для самопроверки
За день до экзамена решайте лёгкие варианты, чтобы сохранить уверенность. Никаких ночных марафонов — мозг устаёт и допускает случайные промахи. Проверьте, что в кармане два черновика, линейка и допуск к экзамену. Для самопроверки используйте открытый банк ФИПИ и генератор вариантов от МГУ. Следите за временем: 20 минут на первые десять задач, остальное — на сложные. Оставаясь в рамках этого графика, вы успеете переписать ответы в бланк без суеты. Удачи на экзамене: пусть цифры работают, а проценты приносят только радость!