Зачем на экзамене нужны катеты и гипотенуза
ЕГЭ математика база: катеты и гипотенуза — тема, без которой часть заданий не решить. Почти каждая работа содержит прямоугольный треугольник в явном или скрытом виде. При проверке школьники чаще теряют баллы не из-за формул, а из-за невнимательности. Поняв взаимосвязь сторон, можно мгновенно вычислять расстояния, высоты, диагонали. Это экономит время на номер 1, 10 и даже 17. Важно, что решая эти задания, ученик тренирует ещё и навык аккуратного вычисления с дробями и корнями. Экономия сил в начале работы обычно влияет на итоговую оценку. Потому мы разберём не только формулы, но и стратегию применения, которая пригодится прямо на экзамене.
Ключевые понятия: катет, гипотенуза, прямой угол
Прямоугольный треугольник имеет один угол ровно 90°. Сторона, лежащая напротив этого угла, называется гипотенузой. Две другие стороны — катеты. Обычно их обозначают a и b, а гипотенузу — c. Для записи в бланке достаточно чисел, однако грамотное обозначение помогает не запутаться при черновых расчётах. Если один катет равен 3, а второй 4, то гипотенуза 5. Такой набор чисел образует пифагорову тройку. Допустимо менять масштаб: 6, 8, 10 или 1,5, 2, 2,5. Умение быстро видеть пропорциональные тройки плавно переводит вычисления из черновика в голову. При проверке чертежей полезно помнить: гипотенуза всегда самая длинная сторона, иначе в задаче допущена ошибка.
ЕГЭ математика база: катеты и гипотенуза в теореме Пифагора
Формула c² = a² + b² известна каждому, но на экзамене её часто применяют неверно. Числа в бланке должны быть точными, иначе потеряется балл. Перед подстановкой нужно решить, какая сторона является c. Если условие сформулировано словами, делайте эскиз. Так уменьшается риск принять катет за гипотенузу. Сначала ищите пифагоровы тройки, и лишь при их отсутствии переходите к корням. Например, при a = 7 и b = 24 результат 25, без корней. Чем меньше корней, тем меньше арифметических ошибок. В случаях, когда требуется найти катет, выражение упрощается: a = √(c²−b²). Этот вид чаще вызывает растерянность, потому тренируйте оба направления.
Устный счёт и округления без потерь баллов
Вторая по частоте ошибка — некорректное округление. В базовой части итог пишут в виде числа или десятичной дроби. Если ответ выходит 7√3, оставляйте символ корня. Для выражений вроде 5,66 разумно хранить три знака в черновике и округлять лишь в конце. Быстрый устный счёт помогает, когда значения комфортны: 9² + 12² = 225, отсюда c = 15. Для трудных чисел используйте приём «квадрат разности»: 28² = (30−2)² = 900−120+4. Такие техники сокращают время на номер 10. Главное — не забывать проверку: гипотенуза должна превышать оба катета.
Типовые задачи и короткие решения
Ниже собраны форматы, которые повторяются из года в год:
- Найти гипотенузу, если катеты 11 и 60. Решение: c = √(11²+60²) = √(121+3600) = √3721 = 61.
- В прямоугольном треугольнике гипотенуза 2√34, один катет 8. Второй катет: √((2√34)²−8²) = √(136−64) = √72 = 6√2.
- Периметр равен 24, один катет 7. Найти другой катет: второй катет = 24−7−√(7²+ b²). Решаем: c = √(49+b²). Получаем уравнение 24 = 7 + b + √(49+b²). Квадратим, получаем b = 8.
- Диагональ прямоугольника 17, одна сторона 8. Другая сторона 15. Задача сводится к треугольнику.
- Высота наклонной лестницы 1,2 м, горизонтальная проекция 1,6 м. Длина лестницы 2 м.
Каждый пример показывает, как задача преобразуется к формуле, а дальше остаётся техника счёта. Попрактиковавшись, ученик узнаёт знакомый тип ещё до конца чтения условия.
Частые ошибки и способы их избежать
Часто путают местами катет и гипотенузу. Для страховки сразу делайте стрелку на рисунке напротив прямого угла. Вторая ошибка — преждевременное округление. Сохраняйте точные корни до финала. Ещё одно слабое место — невнимательное чтение: «сторона квадрата» вдруг превращается в катет, хотя диагональ квадратного окна была дана. Проверяйте соответствие единиц измерения; сантиметры и метры опасно смешивать. Полезно вести чек-лист: обозначения, формула, подстановка, проверка результата. На черновике хватит двух строк, но дисциплина спасает баллы.
Мини-тренажёр: проверь себя прямо сейчас
Ответы размещены под списком, не подсматривайте.
- Катеты 9 и 40. Гипотенуза?
- Гипотенуза 26, катет 24. Второй катет?
- Периметр прямоугольника 34, диагональ 13. Найдите стороны.
- Потолок 2,5 м, стремянка образует угол 90° с полом? Нет, угол тупой, но расстояние до стены 1 м. Длина стремянки?
- Диагональ квадрата 6√2. Его сторона?
Проверьте решения:
- 41
- 10
- 5 и 12
- ≈2,69 м
- 6
Если справились быстрее 4 минут, тема усвоена на уровне ЕГЭ базы.
Как встроить работу с темой в общий план подготовки
Катеты и гипотенуза встречаются в трёх из двадцати тестовых номеров, потому уделите им две короткие сессии в неделю. Начинайте с повторения пифагоровых троек, затем решайте пять свежих вариантов. Через месяц добавьте смешанные задачи, где прямых указаний на прямой угол нет. Чтобы получить структурированные задания и еженедельную проверку, запишитесь на курс «База ЕГЭ. Геометрия» в онлайн школе el-ed.ru. Там материал подан блоками по 20 минут, а статистика прогресса видна сразу. Не растягивайте подготовку до апреля: закрепление формул работает только при регулярности. Держите под рукой карточки с тройками, тренируйтесь в транспорте, и к экзамену вычисление гипотенузы станет рефлекторным действием.