Что важно знать для ЕГЭ математика база
Тема корней почти всегда встречается в варианте, поэтому «ЕГЭ математика база» стоит начинать именно с её повторения. Корнем n-й степени называют такое число, которое при возведении в степень n даёт исходное подкоренное выражение. В школе чаще работают с квадратным корнем, однако на экзамене могут потребоваться и более общие свойства. Чтобы не растеряться, важно понимать ограничения: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а результат извлечения корня принимают только неотрицательным. Эта деталь часто приносит дополнительный балл, ведь многие автоматически записывают ±√a. В заданиях базового уровня обычно достаточно помнить, что √a² = |a|. Именно знак модуля отделяет верный ответ от грубой ошибки. Далее разберём остальные ключевые свойства и посмотрим, как применять их без лишних вычислений.
Область определения и модуль в ответе
Любая проверка решений начинается с анализа области определения. Если под знаком корня стоит выражение 5x − 2, то неравенство 5x − 2 ≥ 0 обязательно записывают первым шагом. Забыл его — потерял балл, даже при идеально просчитанном дальнейшем ходе. Отдельно стоит напомнить о модуле при возведении корня в квадрат. Формула √a² = |a| работает для всех действительных a, тогда как a под корнем всегда неотрицательно. Поэтому при переходе к квадрату нельзя просто «убрать» знак корня. Вместо x = √25 пишем x = ±5, потому что именно так устроен модуль. Привычка проверять знаки экономит время и помогает избежать пересчёта.
Умножение и деление корней
Два самых популярных свойства выглядят так: √a·√b = √(ab) и √a/√b = √(a/b), причём b ≠ 0. Они работают, когда оба подкоренных выражения неотрицательны. Задача 7 из базового ЕГЭ часто проверяет именно эти правила. Важно не путать их с суммой корней: √a + √b не объединяется под один знак. При упрощении выражений можно сначала перемножить или поделить подкоренные части, а затем вынести общий множитель, если получится полный квадрат. Например, √8·√2 преобразуется в √16, а значит равна 4. Такое упрощение сразу показывает, что вычислять приближённое значение не нужно. Схожий путь помогает и в дробях, где рационализация знаменателя делает результат аккуратнее.
Извлечение корня из степени
Свойство (√a)ⁿ = a^(n/2) даёт свободу при работе с показателями. Но здесь опять скрывается модуль. Записывая √a⁴, получаем |a²|, а не просто a². Если показатель нечётный, модуль исчезает, поскольку в исходном выражении уже заложена неотрицательность. Полезно помнить, что степень под корнем можно разбить: √(a⁶) = √((a³)²) = |a³|. На практике это облегчает жизнь при больших показателях, ведь вместо сложных чисел остаётся удобный многочлен. На экзамене встречаются и обратные задачи: нужно представить число под корнем как степень, а затем упростить. Такой подход работает быстрее, чем прямое возведение.
Рационализация знаменателя
Базовый уровень редко просит оставлять ответ в виде десятичной дроби. Гораздо чаще требуется сократить иррациональность. Если знаменатель имеет вид √a, умножаем дробь на √a/√a и получаем a под корнем в числителе, а внизу обычное число a. Для выражений вида √a + √b применяют сопряжённое: домножаем на √a − √b. В результате знаменатель превращается в разность квадратов, то есть a − b.
- Метод работает только при вычитании или сложении двух корней.
- Использование сопряжённого уменьшает количество действий в последующих шагах.
- Избегаем появление новых корней в знаменателе — так ответ смотрится аккуратнее.
Сокращение вычислительного шума экономит драгоценные минуты и снижает риск опечатки.
Типовые ловушки составителей
Частая ошибка — пропуск условия a ≥ 0 при переписывании выражения. Ещё одна ловушка скрыта в преобразовании (√a − 1)(√a + 1). Ученики иногда получают a + 1, забывая минус. Правильно будет a − 1. Ошибки появляются и в записи корня из дроби: √(a/b) превращают в √a/√b, но забывают требование b > 0. Самый неприятный момент — смешение модулей с неравенствами. Если решить |x| ≤ 2, а потом подставить в корень, легко выйти за допустимую область. Избежать этих ловушек помогает строгая проверка ограничений на каждом шаге.
Практика решения и короткие пути
За годы существования экзамена накопились шаблонные задачи. Стоит выделить время и прорешать минимум двадцать свежих вариантов. При проверке обращаем внимание не только на результат, но и на экономию ходов. Тренируйтесь искать полный квадрат внутри корня. Если видите 50, вспоминайте 25·2, значит √50 = 5√2. Такой навык спасает при оценке величины без калькулятора. Степени с большим показателем упрощайте через свойства, а не долгим умножением. Подтверждайте выводы черновыми вычислениями, однако финальный ответ пишите лаконично. А тем, кто хочет системную подготовку, поможет онлайн школа с курсом подготовки к ЕГЭ https://el-ed.ru/.
Финальные советы к экзаменационному дню
Повторите область определения, таблицу квадратов до 20 и свойства корней. Решайте задачи на время, чтобы проверка ответов вошла в привычку. Держите черновик аккуратным, ведь правильная структура облегчает поиск возможных ошибок. При встрече со смешанной дробью и корнем сначала упростите дробь, затем переходите к корню. Всегда проверяйте, не выпал ли модуль. Если выражение отлично от стандартного вида, ищите знакомые конструкции: разность квадратов, полный квадрат, сопряжённое. Уверенность приходит с практикой, поэтому используйте каждую задачу как шанс закрепить свойства, а не просто получить число. Удачи на экзамене!