Зачем сдающему знать медиану и моду
Фраза «Медиана и мода: тренируемся к ЕГЭ математика база» встречается в каждом втором конспекте, и не зря. Задания 3 и 10 КИМа проверяют умение работать со статистическими характеристиками. Автор задания любит простые таблицы продаж, ростов или оценок, потому что в них легче спрятать подвох. Поэтому навык нужен не только для получения балла, но и для экономии времени на экзамене.
Школьник, уверенный в теме, решает задание за минуту. Остальные тратят три, а иногда и теряют балл. Чем меньше нервов на обязательных пунктах, тем больше сил останется на геометрию и проценты. Смысла откладывать тренировку нет: свойства медианы и моды почти не меняются от класса к классу, значит, время, потраченное сегодня, окупится в мае.
Медиана и мода: тренируемся к ЕГЭ — ключевые определения
Медианой называют число, делящее упорядоченный ряд пополам. Половина элементов не меньше медианы, половина — не больше. Мода же является самым частотным значением выборки. Если максимальная частота встречается у нескольких чисел, говорят о мультимодальном ряде.
Для базы достаточно помнить четыре правила:
- Упорядочить данные обязателен только для медианы.
- При нечётном количестве элементов медиана — центральный член.
- При чётном количестве берут среднее двух центральных.
- Мода зависит от частот, а не от положения.
Понимание термина «частота» тоже важно: это количество повторений значения, а не его процент. Иногда составители подменяют термины, надеясь, что ученик растеряется.
Поиск медианы: простой алгоритм
Начинаем с сортировки. В таблицах ЕГЭ значения уже расставлены по возрастанию, но проверять стоит. Разные столбцы могут иметь собственный порядок. После сортировки ищем позицию. Пусть n — число наблюдений. Центральный индекс равен (n+1)/2 при нечётном n. Например, в ряду 2, 3, 5, 8, 9 медиана — третье число, то есть 5.
Если n чётное, нужен средний индекс n/2 и соседний справа. Берём их среднее арифметическое. Для последовательности 1, 4, 7, 10 медиана равна (4+7)/2 = 5,5. Стоит записывать дробь сразу, тогда меньше шансов забыть знак деления при переписывании ответа.
Помните, что в некоторых задачах требуют медиану без вычислений, если средние значения равны. Когда два центральных числа одинаковые, их среднее равно самому числу. Так экономится время.
Чётные выборки: где часто ошибаются
Главная ошибка — использовать округление вместо точного деления. Ученики видят 3 и 4, пишут 3,5, а дальше округляют до 4. На экзамене за это снимают балл. Второй риск связан с пропуском отрицательных значений. Если рядом −2, 1, корректная медиана −0,5, а не 1. Знак минус иногда прячут в верхней строке таблицы, поэтому взгляд автоматически перескакивает мимо.
Третий подвох — повторы. Возьмём ряд 2, 2, 3, 3. Центральные элементы оба равны 2 и 3? Нет. После сортировки места 2 и 3 занимают значения 2 и 3, медиана 2,5. Авторы надеются, что школьник запутается в одинаковых двойках, но внимательный ученик видит порядок, а не количество повторений.
Как находить моду, если мод несколько
Моду ищем легче: просматриваем частоты и выбираем максимум. Часто это один результат, например, три одинаковых балла в группе оценок. Однако встречаются ряды с двумя пиками. Если частота одинакова у 7 и 9, оба числа — моды. В бланке ЕГЭ ответ записывают через пробел без запятых: 7 9. Правило проверено демоверсиями, но лучше уточнить у учителя формат конкретного года.
Иногда задача просит указать, сколько мод имеет ряд. Тогда ответ — натуральное число. Любят добавлять ноль, демонстрируя, что у всех элементов частота единица. Вывод очевиден: мод нет.
Задачи из демоверсий: разбор шаг за шагом
Пример 1. Таблица «Количество книг, прочитанных учащимися за лето». Значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5; частоты: 3, 5, 8, 6, 4, 1. Мода — 2, потому что частота 8 максимальна. Общее число учеников 27, поэтому позиция медианы (27+1)/2 = 14. Считаем накопленные частоты: после 0 и 1 уже 8 человек, после 2 — 16. Четырнадцатый элемент попадает в группу «2 книги». Ответ: 2 и 2.
Пример 2. Гистограмма с высотами столбиков. Нужно медиану. Считаем площади столбиков или читаем подписи, переводим в абсолютные частоты и ищем центральную позицию. Гистограмма пугает видом, но сводится к тому же накоплению.
Ловушки и способы само-контроля
Первая ловушка — невнимание к формулировке. Если просят «найдите значение медианы», нельзя писать позицию. Вторая — смешанные единицы измерения. Значения могут быть в граммах и килограммах в разных строках. Приводите всё к одной единице до расчётов.
Третья — лишние данные. Иногда помещают два столбца, но нужным оказывается только один. Четвёртая — визуальные иллюзии. На столбчатой диаграмме самый высокий столбец может выглядеть нецентральным из-за масштаба. Решение простое: выписать числа отдельно и работать с ними.
Для контроля полезна привычка делать две независимые проверки: мысленно и на черновике. Разошлись значения — ищем причину, пока не совпадут.
Мини-тренажёр на неделю
День 1. Решите пять задач на моду из любого сборника.
День 2. Отработайте медиану при нечётном n.
День 3. То же, но при чётном n.
День 4. Смешанные задачи с таблицами частот.
День 5. Диаграммы: гистограммы, круговые, линейные.
День 6. Ловушки: отрицательные значения и разные единицы.
День 7. Пробный мини-тест под таймер 10 минут. Сравните время и точность.
Если потребуется помощь наставника или дополнительные материалы, загляните на курс подготовки к ЕГЭ: там быстро разберут ваши ошибки.