Что такое цилиндр
Цилиндр — это тело вращения. Представьте прямоугольник, крутящийся вокруг одной стороны. Его стороны образуют боковую поверхность, а основания получаются кругами. У цилиндра две главные величины: радиус основания и высота. Радиус обозначают буквой r, высоту — буквой h. Именно они задают весь размер фигуры. Без них найти объём нельзя. В задачах ЕГЭ база встречаются как прямые вопросы, так и завуалированные. Потому важно понимать суть формы, а не только формулу.
Формула объёма
Объём цилиндра равен произведению площади основания на высоту. Площадь круга вычисляется по формуле S = πr². Если умножить её на h, получится V = πr²h. Запомнить просто: квадрат радиуса, число π, высота. Физический смысл тоже ясен. Основание показывает, сколько «площади» имеет срез. Высота показывает, сколько раз эта площадь повторяется вдоль вертикали. Поэтому любая ошибка в радиусе или высоте ведёт к двойному промаху. Настройка калькулятора важна: число π в школе берут 3,14 или используют кнопку.
Понимаем радиус и высоту
Иногда в условии дают диаметр. Диаметр — это удвоенный радиус: d = 2r. Значит, радиус равен половине диаметра. Забыв это, ученик получает неверное r, а далее и объём. Бывает, что высоту прячут под словом «длина образующей». У прямого цилиндра образующая совпадает с высотой. Если же цилиндр наклонён, формулы ЕГЭ базы всё равно применяют прямой вариант. Ещё одна хитрость автора задачи — дробные сантиметры. Не бойтесь дробей; подставляйте их напрямую. Главное — не забыть единицы, особенно когда радиус в сантиметрах, а высота в миллиметрах. Переведите всё к одному формату.
Пример из ЕГЭ база
Задание: «Радиус основания цилиндра 4 см, высота 10 см. Найдите объём». Решение:
- Пишем формулу: V = πr²h.
- Подставляем числа: V = π·4²·10.
- Считаем: 4² = 16, затем 16·10 = 160.
- Итог: V = 160π см³ ≈ 160·3,14 = 502,4 см³.
Ответ можно оставить в виде 160π, если в задаче нет требования к десятичному виду. При проверке сканер ФИПИ видит и тот, и другой вариант, главное указать правильно.
Ошибки и лайфхаки
Частая ошибка — забывают возвести радиус в квадрат. Ученики пишут V = πrh и теряют балл. Вторая ошибка — путают диаметр с радиусом. Проверяйте, не стоит ли рядом слово «диаметр». Третья ошибка — неверное округление π. Если условие просит точный ответ, π оставляют знаком. Если нужен числовой, округляют после умножения. Лайфхак для проверки: мысленно уменьшите радиус в два раза, объём упадёт в четыре. Если получилось иначе, значит где-то просчитались.
Обратные задачи
Иногда требуется найти радиус или высоту, зная объём. Тогда используем ту же формулу, но решаем относительно неизвестного. Пример: объём 200π см³, высота 5 см. Радиус? Пишем 200π = πr²·5. Сокращаем на π: 200 = 5r². Делим: r² = 40. Радиус равен √40 ≈ 6,32 см. При записи в ответ можно оставить корень или округлить до сотых, если сказано «с точностью до». Важно правильно извлекать корень, иначе итог заметно уйдёт. Проверка: подставьте найденный r обратно в формулу и посмотрите, получите ли исходный объём.
Практика с реальными предметами
Откройте кухонный шкаф. Банка для крупы, стакан, батарейка — это примеры цилиндров. Возьмите линейку и измерьте диаметр и высоту. Переведите диаметр в радиус, сосчитайте объём. Затем налейте воду в мерный стакан и проверьте практикой. Разница в процентах покажет, насколько точными были измерения. Такой способ даёт наглядность и укрепляет память. Можно сделать ещё интереснее: возьмите два стакана разных размеров, но с одинаковой высотой. Измерьте радиусы, рассчитайте объёмы и сравните. Увидите, как объём растёт с квадратом радиуса.
Итоги и следующий шаг
Мы разобрали форму цилиндра, формулу объёма, типовые задачи, ошибки и тренировки. Теперь погоняйте себя таймером. Откройте сборник ФИПИ, выберите пять заданий и решите за десять минут. Старайтесь писать коротко: формула, подстановка, вычисление. Если чувствуете неуверенность, присмотритесь к онлайн курсу подготовки к ЕГЭ. Там объяснят тему ещё раз и дадут тесты с мгновенной проверкой. Главный вывод: объём цилиндра кажется простым, но терять баллы на нём обидно. Тренируйтесь регулярно, сверяйте результаты линейкой и калькулятором, и нужные два балла будут вашими.