Почему задачи про повышение и снижение цены так любимы авторами ЕГЭ
Повышение и снижение цены — типичный сюжет блока «Арифметика» базового ЕГЭ. Экзаменаторы ценят его за наглядность и простоту проверки. Ученик либо верно применил процент, либо ошибся на шаге. Задачи короткие, но включают сразу три умения: перевод процентов, работу с дробями и грамотный порядок действий. Именно на этих пунктах выпускники чаще всего теряют баллы, хотя формулы элементарны. Чтобы избежать досадной потери, полезно заранее разобрать разные варианты сюжета и увидеть повторы в условиях.
В этом разделе заведём правило. Любое изложение будем сверять с тремя вопросами: «От какой суммы считали процент?», «Сколько раз менялась цена?», «Что требуется найти?». Ответы позволяют сразу очертить рабочее поле и снизить стресс на экзамене. Дальше разграничим две главные модели: последовательное изменение и обратное вычисление первоначальной стоимости. Эти схемы встречаются в большинстве заданий.
Повышение и снижение цены: базовая модель в три действия
Первый вид задач звучит так: «Товар подорожал на 15%, потом подешевел на 10%. Найдите конечную стоимость». Решаем в три шага. Шаг один: находим коэффициент повышения. 15% → 1,15. Шаг два: выводим коэффициент снижения. 10% → 0,9. Шаг три: перемножаем начальную цену на оба числа в порядке появления. Формула: Sкон = Sнач · 1,15 · 0,9. Промежуточный результат округлять нельзя; делаем это лишь в финале, если указано. Такой приём избавляет от накопленной ошибки и экономит время.
Второй вариант — узнать старую цену, имея новую. Здесь удобнее работать обратными коэффициентами. Если после повышения на 12% товар стал стоить 448 рублей, то 1,12·Sнач = 448. Делим: Sнач = 448 ÷ 1,12. Дробь 1,12 можно заменить «112/100», тогда деление сведётся к умножению на 100 и делению на 112. Способ хорош, когда запрещён калькулятор.
Перевод процентов без ошибок
Главный источник промахов — неверный числитель в дроби. Запоминаем простое правило: «плюс процент» — прибавляем число к 100, «минус процент» — вычитаем. Получаем коэффициент, делённый на сто. Пример: рост на 7% даёт 107/100. Снижение на 7% — 93/100. Формула одинакова для любых величин: цены, массы, длины.
Работаем только с одной десятичной дробью или обыкновенной в пределах всей задачи. Смешение форматов дольше и чаще приводит к неточным округлениям. Если числа некрасивые, лучше сразу выбрать обыкновенную дробь: 17% → 117/100 или 0,83 для убыли. Эти коэффициенты удобно сокращать вместе с ценой, особенно когда сумма кратна 10.
Правильный порядок действий: проценты раньше рублей
Ребята часто начинают считать рубли «по ходу текста» и теряются. Универсальный порядок такой. Сначала выписываем все коэффициенты изменений в нужном порядке. Затем умножаем их между собой, получая общий коэффициент. И лишь потом приклеиваем цену. Так мы сокращаем количество операций и вероятность досадной ошибки.
Пример. Цена выросла на 20%, потом ещё на 5% и наконец упала на 10%. Коэффициенты: 1,2; 1,05; 0,9. Перемножаем: 1,2·1,05 = 1,26; 1,26·0,9 = 1,134. Теперь умножаем на исходную цену, допустим 500 рублей. Получаем 567 рублей. Один раз посчитали проценты, один раз рубли. Метод универсален и для сложных цепочек.
Быстрые вычисления без калькулятора
В базовом ЕГЭ калькулятор не запрещён, но носить его лишний раз неудобно. Сокращаем дроби вручную. Если цена делится на десять, прощаемся с нулём в числителе или знаменателе. Допустим, S = 760, коэффициент 108/100. Разделим оба числа на четыре: 760 ÷ 4 = 190, 100 ÷ 4 = 25. Работать с 190·108/25 куда проще. Такая техника уменьшает вычислительную нагрузку и ускоряет решение.
Иногда продукт коэффициентов оказывается неприятным. К примеру, 1,17 · 0,83. Можно перевести в дроби: 117/100 · 83/100 = 9711/10000. Числитель 9711 близок к 9700, что даёт прикидку 0,97. Даже грубая оценка подскажет порядок цифр и поможет проверить итог.
Типовые ловушки составителей
Первая ловушка — «повысили на х процентов, затем снизили на х процентов». Итог всегда меньше начального, потому что вторая операция действует на уже изменённую цену. Вопрос «на сколько процентов изменилась цена?» проверяет понимание сути процента, а не знание формулы.
Вторая ловушка — слова «стоимость увеличилась до 150% от первоначальной». Это значит «в полтора раза больше», а не «на 150% больше». Точная трактовка экономит целый балл. Третья ловушка — округление в середине решения. Одно преждевременное округление может увести ответ на единицу, что критично при коротких числах.
Ещё один трюк — дать два товара. Один подешевел, другой подорожал. Спрашивают общий расход. Здесь важно считать каждый товар отдельно, затем складывать рубли. Доли процента смешивать нельзя.
Тренировочные задачи и полезные сервисы
Практика закрепляет теорию. Начать удобно с сборников ФИПИ последних лет. Задачи повторяются, различаясь лишь числами. Затем подключаем онлайн-тренажёры: «Решу ЕГЭ», «Яндекс.Репетитор», авторские марафоны преподавателей. Формула одна и та же, привыкаете к скорости.
Если важен структурированный курс подготовки к ЕГЭ, присмотритесь к онлайн школе с пошаговой программой. Видео, тесты и разбор ошибок помогут закрепить лайфхаки из статьи.
- Решайте минимум пять задач цепочкой, не разрывая концентрацию.
- Проверяйте каждый ответ обратным действием: вычислите начальную цену из конечной.
- Ведите таблицу ошибок и повторяйте их раз в три дня.
Мини-план повторения на последней неделе
За семь дней до экзамена делаем обзор формул. День первый: повышающие и понижающие коэффициенты. День второй: обратные задачи. День третий: цепочки из трёх и более изменений. День четвёртый: ловушки и текстовые маркеры. День пятый: быстрые вычисления и округление. День шестой: полный тренировочный вариант. День седьмой: лёгкий повтор и отдых.
Перед сном просматриваем короткие конспекты, избегаем громоздких примеров. Утром экзамена повторяем правило «коэффициенты раньше рублей». Две минуты концентрации экономят драгоценные баллы. Помните: повышение и снижение цены — не ловушка, а шанс заработать простой балл. Ловите его уверенно!