Почему тема смесей и сплавов пугает школьников
Разбираем смесь сплавов на примерах ЕГЭ и сразу убеждаемся: главная сложность не в формулах, а в страхе перед длинными условиями. Когда проценты, граммы и названия металлов встречаются в одной строке, мозг словно «зависает». На деле же задачи строятся на двух законах — сохранения массы и сохранения количества вещества. Стоит их принять, тревога спадает. В этой статье мы разберём восемь логичных шагов, покажем таблицы, крестик и два разных уровня примеров. Держите калькулятор под рукой, но сначала взгляните на самую простую схему решения.
Классическая схема подсчёта масс и концентраций
Базовый алгоритм помещается в компактную таблицу из трёх строк: «масса», «доля вещества», «чистое вещество». Пусть есть сплав меди массой m₁ с содержанием p₁ %, а также сплав массой m₂ с содержанием p₂ %. Итоговый сплав будет массой m₁ + m₂ и неизвестной долей p. Чтобы её найти, выполняем четыре действия:
- Переводим проценты в десятичные доли: p₁/100 и p₂/100.
- Считаем чистое вещество: m₁·p₁/100 и m₂·p₂/100.
- Складываем найденные массы вещества.
- Делим сумму на общую массу и умножаем на сто.
Получаем формулу p = (m₁p₁ + m₂p₂)/(m₁ + m₂). Она работает для любых металлов, растворов или даже сухофруктов. Главное — не путать граммы с килограммами и не забывать переводить проценты.
Разбираем смесь сплавов на примерах ЕГЭ: табличный приём
Рассмотрим конкретный номер. Сплав А массой 6 кг содержит 30 % никеля, сплав B массой 4 кг — 50 %. Сколько процентов никеля будет после смешения?
- Чистый никель в A: 6 × 0,30 = 1,8 кг.
- Чистый никель в B: 4 × 0,50 = 2 кг.
- Общая масса: 10 кг, чистый никель: 3,8 кг.
- Доля: 3,8/10 = 0,38; переводим — 38 %.
Ответ — 38 %. Табличный метод хорош тем, что шаги видны глазами, а значит, риск арифметической ошибки падает. Тем же способом легко обрабатывать три и более исходных сплава: добавьте строки, повторите действия.
Метод крестика и линейная диаграмма
Когда доли двух исходных сплавов известны, а итоговую концентрацию задали, быстрее взять метод крестика. Пишем значения p₁ и p₂ по краям, желаемую p — по центру. Вычитаем крест-накрест: |p₂ − p| и |p − p₁|. Числа показывают, во сколько раз массы должны отличаться. Пример: надо получить 50 % сплав из 20 % и 60 %. Разницы 60 – 50 = 10 и 50 – 20 = 30 дают отношение 1:3. Значит, первая смесь берётся в три раза меньше второй. Приём экономит время, особенно когда нужно только соотношение, а не точные значения.
Частые ошибки и способы их избежать
Даже уверенные ученики теряют баллы на мелочах. Вот список распространённых провалов и способов их обойти:
- Непереведённые проценты. Лечится привычкой писать дроби сразу после чтения условия.
- Смешение объёмов и масс. В текстах ЕГЭ почти всегда речь о массе; проверяйте единицы.
- Запись «чистого вещества» в колонке массы. Помогает дополнительная подпись «металл, кг».
- Неправильное округление. Используйте все цифры до конца решения, округляйте в последнем шаге.
- Забытый закон сохранения массы. Если после сложения масс ответ вдруг меньше исходной массы, ищите ошибку.
Тренировочная задача с процентами металла
Условие: к 8 кг 25 % сплава меди добавили x кг 60 % сплава. Получили 40 % сплав. Найдите x.
Составляем уравнение чистых масс: 8 × 0,25 + x × 0,60 = (8 + x) × 0,40. Раскрываем скобки: 2 + 0,6x = 3,2 + 0,4x. Переносим члены: 0,2x = 1,2. Отсюда x = 6 кг. Проверяем: общая масса 14 кг, чистая медь 5,6 кг, доля 40 %. Всё сходится. Решающиe приём — аккуратное уравнение сохранения вещества. Оно спасёт и в номерах с растворами, и в химических примерах.
Сложная задача с тройным смешением
Экзаменационная разновидность — три сплава. Задача: 5 кг 10 % сплава, 7 кг 25 % сплава и некоторое количество 40 % сплава смешали, получив 30 % состав. Найдите массу третьего сплава.
Записываем формулу: 5 × 0,10 + 7 × 0,25 + m × 0,40 = (12 + m) × 0,30. Считаем: 0,5 + 1,75 + 0,4m = 3,6 + 0,3m. Переносим: 0,1m = 1,35. Ответ: m = 13,5 кг. Проверка показывает, что чистое вещество и масса совпали с условием. Ошибки здесь обычно появляются при переносе дробей, поэтому держите выражения упорядоченными.
Как закрепить навык и не потерять баллы
Решите десять разных задач сразу после чтения статьи, а завтра ещё пять — память закрепится. Составляйте таблицу даже для «маленьких» чисел, так мозг привыкает к структуре. Ещё полезно тренироваться в формате таймера: ставьте семь минут на задание и проверяйте, уложились ли. Если нужна системная поддержка, посмотрите онлайн курс подготовки к ЕГЭ: там задачи сгруппированы по уровням, есть видеоразборы и моментальная обратная связь. Постоянная практика убирает панику, а отточенные приёмы превращают номер на смеси и сплавы в лёгкий источник баллов.